Aviso: O conteúdo aqui apresentado tem uma finalidade exclusivamente informativa sobre um tipo específico de jogo e como jogá-lo. O objetivo deste conteúdo não é nem promover nem disponibilizar um tipo de jogo, mas simplesmente informar o jogador acerca de como jogá-lo.
A base da matemática dos jogos de casino é a "probabilidade". Informalmente, entendemos a probabilidade como um número que descreve as hipóteses de algo acontecer. Geralmente, é expressa como uma fração ou valor decimal com um valor entre 0 e 1, ou como uma percentagem com um valor entre 0% e 100%. Uma probabilidade de 0 significa que o evento nunca pode ocorrer. Uma probabilidade de 1 significa que o evento ocorre sempre. Por exemplo, lançar dois dados e obter uma soma de 13; isso é impossível, portanto, a probabilidade é 0. Lançar uma moeda e obter cara ou coroa; isso é uma certeza, portanto, a probabilidade é 1. Dados e moedas nunca caem de pé no nosso mundo matematicamente perfeito.
A teoria formal da probabilidade começa por compreender o que é conhecido como o "espaço amostral". Este é simplesmente uma descrição de todos os resultados possíveis - tudo o que pode acontecer. Alguns exemplos:
2. Existem 6 resultados quando um único dado é lançado; o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Existem 36 resultados quando dois dados são lançados (o primeiro dado e o segundo dado produzem um valor de 1 a 6 cada, portanto, existem 6 × 6 = 36 resultados). O espaço amostral é {[1,1], [1,2], [1,3], [1,4], [1,5], [1,6], [2,1], ... e assim por diante}, ou de forma mais simples, usando a notação de construtor de conjuntos, é {[x, y] | 1 ≤ x ≤ 6, 1 ≤ y ≤ 6 }.
4. Existem 38 resultados quando uma roleta ao vivo é girada. O espaço amostral consiste nos números de 1 a 36, juntamente com o zero e o duplo zero.
5. Existem 52 maneiras de uma única carta ser retirada de um baralho. O espaço amostral consiste no conjunto de valores das cartas (classificação e naipe).
6. Existem 1.326 mãos iniciais de duas cartas no Texas Hold'em. O espaço amostral consiste no conjunto de pares de cartas.
Muitas experiências têm um espaço amostral que é facilmente compreendido a partir da natureza da mesma, mas pode não ser explicitamente descrito. Os espaços amostrais são frequentemente muito grandes para os jogos de casino, refletindo a sensação intuitiva de que há demasiadas coisas que podem acontecer para contá-las todas. Os matemáticos têm que contá-las todas.
- Existem 66.300 formas de um jogador receber duas cartas contra uma carta visível do dealer no blackjack de baralho único.
- Existem 2.598.960 maneiras de distribuir 5 cartas a um jogador no poker.
- Existem 407.170.400 maneiras de distribuir as mãos de três cartas para o jogador e o dealer no Poker de Três Cartas.
- Existem 55.627.620.048.000 maneiras de dois jogadores jogarem uma mão de Texas Hold'em, incluindo as duas cartas iniciais, as três cartas do flop, o turn e o river, jogando um contra o outro.
Um "evento" consiste em algumas das coisas que podem ocorrer na experiência. Um evento é uma maneira de descrever algumas das coisas fora de tudo o que pode acontecer num jogo. Aqui estão alguns exemplos de eventos que correspondem a alguns dos jogos na lista acima:
- Lançar uma moeda e obter cara.
- Rolar dois dados e obter uma soma de 7.
- Receber um blackjack vivo contra um Ás visível do dealer.
- Receber uma mão de poker com full house.
- Receber uma sequência que perde para uma sequência mais alta no Three Card Poker.
- Receber um par de mão em Texas Hold'em.
Para calcular a probabilidade de um evento, precisamos saber duas informações. Primeiro, precisamos de uma contagem completa do número de elementos individuais no espaço amostral. Segundo, precisamos saber quantos elementos individuais estão na coleção que corresponde ao evento. Simplificando, precisamos saber o tamanho do espaço amostral e o tamanho do evento.
CONHECENDO ESSES VALORES, DEFINIMOS A PROBABILIDADE DO EVENTO PELA EQUAÇÃO:
A palavra "Probabilidade" é complicada de escrever; é costume usar a letra "P" ao se referir à probabilidade de um evento.
O que não é evidente pela equação de probabilidade é como contar o tamanho de várias coleções. Infelizmente, nos jogos, existem muito poucos problemas simples, e esses problemas de contagem podem ser extremamente complexos. Para os casos em que a contagem é fácil, as probabilidades podem ser rapidamente calculadas. Vamos passar por vários exemplos para demonstrar algumas das técnicas. O objetivo é que esses exemplos ajudem a esclarecer o conceito de probabilidade em jogos de casino e alguns dos métodos usados para chegar a esses valores.
PROBABILIDADE DE LANÇAR UMA MOEDA
Ao lançar uma moeda, onde H = "Cara" e T = "Coroa", o espaço amostral é {H, T} e tem dois elementos. Obter "Cara" corresponde ao evento {H}, que tem um único elemento. Portanto:
P(Cara) = 1 / 2 = 0,5000.
PROBABILIDADES NO TEXAS HOLD'EM
DISTRIBUIÇÃO DAS PRIMEIRAS E SEGUNDAS CARTAS
No Texas Hold'em, existem 52 cartas possíveis que podem ser distribuídas como a primeira carta, e 51 cartas possíveis que podem ser distribuídas como a segunda carta. Como a ordem das cartas não importa, dividimos por 2 para considerar a simetria. O tamanho do espaço amostral é:
(52 × 51) / 2 = 1326
Vamos considerar o evento de receber um par de mão. Se olharmos para os pares de duques, existem seis pares possíveis (novamente, a ordem não importa): {[2C,2D], [2C,2H], [2C,2S], [2D,2H], [2D,2S], [2H,2S]}. Para qualquer classificação de cartas, existem seis pares possíveis com essa classificação. Existem 13 classificações possíveis para o par e seis maneiras de fazer o par com essa classificação. Isso resulta em 13 × 6 = 78 pares. Portanto, o tamanho do evento de receber um par de mão é 13 × 6 = 78. Portanto:
P(par de mão) = 78 / 1326 = 0,0588
PROBABILIDADE DE LANÇAMENTO DE DADOS
Ao lançar dois dados, o espaço amostral é {[x,y] | 1 ≤ x ≤ 6 , 1 ≤ y ≤ 6 }; o espaço amostral tem 36 elementos. O evento "obter uma soma de 7" corresponde ao subconjunto do espaço amostral {[1,6], [2,5], [3,4], [4,3], [5,2], [6,1]}. Este subconjunto tem 6 elementos. Portanto:
P(soma de 7) = 6 / 36 = 0,1667
A figura acima fornece as probabilidades para as várias somas de dois dados.
PROBABILIDADE DE BLACKJACK VS. ÁS DO DEALER
P(Blackjack vs. Ás do Dealer) = 192 / 66.300 = 0,002896
Isso significa que a situação em que um jogador pode considerar aceitar o pagamento de 1:1 (ou “even money”) ocorre cerca de 29 vezes a cada 10.000 mãos, ou cerca de uma vez a cada 345 mãos. Numa mesa cheia e com velocidades de distribuição padrão, isso equivale a cerca de uma decisão de 1:1 por jogador por hora num baralho único.
Fazendo os mesmos cálculos para um jogo com um sapato de seis baralhos, obtemos um espaço amostral com um tamanho de 15.039.960 e um evento com um tamanho de 52.992, de modo que:
P(Blackjack vs. Ás do Dealer) = 52.992 / 15.039.960 = 0,003523
Isso significa que situações de “even money” ocorrem cerca de 35 vezes a cada 10.000 mãos, ou cerca de uma vez a cada 284 mãos. O "even money" é muito mais comum e, portanto, potencialmente mais lucrativo para o casino, num jogo em que é utilizado um sapato de casino.
PROBABILIDADES NO POKER DE TRÊS CARTAS
Neste exemplo, vamos passar pelos detalhes matemáticos da aposta Pair Plus (Par ou Melhor) no Poker de Três Cartas e calcular todas as probabilidades.
Primeiro, o espaço amostral consiste em todas as mãos distintas de três cartas que podem ser distribuídas a partir de um baralho de 52 cartas de jogo. Existem 52 valores possíveis para a primeira carta, 51 valores possíveis para a segunda carta e 50 valores possíveis para a terceira carta. Três cartas podem ser rearranjadas de seis formas possíveis, mas ainda serem as mesmas três cartas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Portanto, o número de mãos distintas de três cartas é:
(52 × 51 × 50) / 6 = 22.100.
EVENTO: STRAIGHT FLUSH
Estes são fáceis de contar. Para ter um straight flush, é necessário obter uma das mãos A23, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 8-9-10, 9-10-J, 10-J-Q, JQK, QKA num dos quatro naipes. Existem 12 straight flushes e cada straight flush pode ocorrer num dos quatro naipes, portanto, existem 12 × 4 = 48 formas de obter um straight flush. Assim:
P(Straight Flush) = 48 / 22.100 = 0,002172
EVENTO: TRIO
Novamente, podemos contá-los diretamente. Para os duques, podemos obter trios com qualquer um dos grupos [2C,2D,2H], [2C,2D,2S], [2C,2H,2S] e [2D,2H,2S]. Existem quatro trios para qualquer valor e existem treze valores, então existem 13 × 4 = 52 maneiras de obter um trio. Assim:
P(Trio) = 52 / 22.100 = 0,002353.
EVENTO: SEQUÊNCIA/STRAIGHT (NÃO STRAIGHT FLUSH)
Começamos por contar todas as sequências, incluindo os straight flushes. Como mencionado acima, uma sequência consiste num dos tipos de mão A23, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 8-9-10, 9-10-J, 10-J-Q, JQK, QKA. Vamos olhar para o A23 em particular. Podemos ter qualquer naipe para o A, 2 e 3; existem quatro opções para o naipe de cada um (paus, ouros, copas e espadas). Portanto, a sequência A23 consiste em escolher uma carta de cada um dos conjuntos {AC, AD, AH, AS}, {2C, 2D, 2H, 2S} e {3C, 3D, 3H, 3S}. Existem 4 × 4 × 4 = 64 formas de escolher essas três cartas. Portanto, existem 64 sequências do tipo A23. Existem 12 tipos de sequências e cada sequência pode ocorrer de 64 formas. Portanto, o número total de sequências é 12 × 64 = 768. Mas esse número inclui os 44 straight flushes que já contámos, por isso precisamos de subtraí-los do total. Isso deixa-nos com 768 - 48 = 720 sequências que não são straight flushes. Portanto:
P(Sequência) = 720 / 22.100 = 0,032579
EVENTO: FLUSH (NÃO STRAIGHT FLUSH)
Precisamos contar todas as mãos XYZ onde X, Y e Z têm o mesmo naipe e a mão não é um straight flush. Vamos escolher o naipe Paus. Existem 13 cartas. Podemos escolher qualquer uma dessas 13 para a primeira carta, qualquer uma das 12 restantes para a segunda carta e qualquer uma das 11 restantes para a terceira carta. Porque três cartas podem ser rearranjadas de seis maneiras possíveis e a ordem em que as cartas foram distribuídas não importa, segue-se que o número de formas de obter um flush de paus: (13 × 12 × 11) / 6 = 286. Dessas, 12 são straight flushes. Isso deixa-nos com 286 - 12 = 274 flushes de paus que não são straight flushes. Como existem quatro naipes, concluímos que o número total de flushes é 274 × 4 = 1.096. Portanto:
P(Flush) = 1.096 / 22.100 = 0,049593
EVENTO: PAR
Existem 6 formas de obter um par de qualquer valor. Por exemplo, para obter um par de duques, o jogador deve segurar um dos pares [2C,2D], [2C,2H], [2C,2S], [2D,2H], [2D,2S] ou [2H,2S]. Uma vez que o par é distribuído, a terceira carta deve ser de um naipe diferente (caso contrário, a mão seria um trio). Existem 48 cartas que não têm o mesmo valor que o par. Juntando tudo, existem 13 valores possíveis para o par, 6 pares desse valor e 48 cartas possíveis como terceira carta de um valor diferente. Multiplicando esses valores, obtemos um total de 13 × 6 × 48 = 3.744 pares. Portanto:
P(Par) = 3.744 / 22.100 = 0,169412
EVENTO: NADA
Este último caso é o mais fácil. Obter "nada" significa simplesmente que a mão não é nenhuma das anteriores. Para calcular o número de elementos nesse evento, subtraímos todos os resultados acima do número total de mãos. Isso resulta em 22.100 - 48 - 52 - 720 - 1.096 - 3.744 = 16.440 mãos que são perdedoras para a aposta Pair Plus. Portanto:
P(Nada) = 16.440 / 22.100 = 0,743891
FREQUÊNCIA DE ACERTO
Agora ilustramos como calcular a frequência de acerto. Para a aposta Pair Plus, um jogador vence sempre que obtém um par ou algo melhor. A frequência de acerto corresponde à probabilidade de receber um par ou algo melhor. Para encontrar o número de elementos nesse evento, somamos simplesmente todas as mãos vencedoras possíveis. Fazendo isso, obtemos 48 + 52 + 720 + 1.096 + 3.744 = 5.660. Portanto:
Frequência de Acerto = P(Vitória) = 5.660 / 22.100 = 0,256109
Por fim, repare que, somando todas as probabilidades, obtemos 0,002172 + 0,002353 + 0,032579 + 0,049593 + 0,169412 + 0,743891 = 1,000000. Isso simplesmente significa que a probabilidade de algo acontecer é 1, uma certeza.
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As probabilidades desempenham um papel fundamental nos jogos de casino, moldando os resultados e influenciando as estratégias dos jogadores. Entender a teoria da probabilidade é essencial para tomar decisões informadas ao jogar, seja em jogos de cartas como o blackjack ou poker, ou em jogos de dados como o craps.
No poker, a probabilidade de obter certas mãos ou combinações é crucial para avaliar a força da sua mão e tomar decisões sobre apostas. Em jogos como o blackjack, as probabilidades de obter um blackjack contra um Ás do dealer podem afetar as escolhas dos jogadores.
Além disso, a frequência de acertos, ou seja, a probabilidade de obter mãos vencedoras, é um fator importante para determinar a rentabilidade a longo prazo de uma aposta, como a aposta "Pair Plus" em Three Card Poker.
Entender as probabilidades não apenas aprimora as estratégias de jogo, mas também oferece uma visão valiosa sobre as probabilidades de sucesso em jogos de casino. É importante lembrar que, embora a matemática possa ser complexa, ter um conhecimento sólido das probabilidades pode melhorar a experiência de jogo e potencialmente aumentar as suas probabilidades de sair vitorioso. Portanto, ao se aventurar em jogos de casino, considere as probabilidades e faça escolhas informadas para desfrutar de uma experiência mais gratificante.
