Aviso: O conteúdo aqui apresentado tem uma finalidade exclusivamente informativa sobre um tipo específico de jogo e como jogá-lo. O objetivo deste conteúdo não é nem promover nem disponibilizar um tipo de jogo, mas simplesmente informar o jogador acerca de como jogá-lo.
Todos os jogos de casino online ou offline dão uma vantagem à casa: se uma pessoa aposta €100, então a vantagem da casa prevê o retorno sobre esses €100 que cada jogador terá, em média. Por exemplo, ao jogar roleta, o jogador receberá cerca de €94.74. Ao jogar blackjack, o jogador recebe cerca de €99.54. Ao jogar Poker de Três Cartas (apenas a Ante/Jogar), o jogador recebe cerca de €96.63. Estes valores são o “retorno médio” que o jogador tem quando faz uma aposta inicial de €100 e eles correspondem à vantagem da casa para cada jogo.
Obviamente, um jogador nunca recebe de volta exatamente €94.74, €99.54 ou €99.63 no final de uma ronda. Talvez perca a sua aposta de €100, talvez fique break even ou talvez ganhe €100, €200... qualquer coisa pode acontecer. Por exemplo, se o jogador apostasse €100 no 34 vermelho e ganhasse, embolsava €3.500. Se um jogador de blackjack abrisse para quatro mãos, dobrasse em cada uma delas e depois visse o dealer sacar um 21 de seis cartas derrotando-o em todas as mãos, perderia €800. De cada vez que uma ronda é completada, o montante que o jogador ganha ou perde será um valor que é normalmente diferente do que o retorno médio expectável. No longo prazo, estes retornos diferentes acabarão por criar uma média. E o retorno médio é o rácio da soma de todos os retornos em relação à soma de todas as apostas iniciais.
Precisamos de uma medição do quanto os vários retornos em rondas individuais de um jogo de casino variam em relação ao retorno médio. E é aí que entram o desvio padrão e a variância.
O desvio padrão de alguns dados pode ser intuitivamente pensado como “a distância média entre um valor de dados e a média desses dados”. Normalmente, é utilizada a letra grega σ para indicar o desvio padrão. Um valor de dados significa um de muitos pedaços de dados recolhidos. Alguns desses valores serão menores do que a média; alguns serão maiores do que a média. Alguns poderão ser iguais à média. Cada valor está a uma determinada distância da média. O objetivo aqui é encontrar a “média” da distância da média.
Há um aspeto técnico do desvio padrão que vem daquilo que significa encontrar a “média”. Ilustramos esta tecnicalidade por primeiro considerar dois métodos para encontrar a média de valores X e Y.
Uma noção de uma média de dois valores X e Y é calcular o valor (X + Y)/2. Por exemplo, com X = 3 e Y = 5, a média é (3 + 5)/2 = 8/2 = 4. Este método de cálculo da média é conhecido como cálculo da “média aritmética”.
Outra forma de obter a média de dois valores X e Y é pegar na raiz quadrada da média da soma dos quadrados. Então, a média é raizqdrda((X2 + Y2)/2). Por exemplo, sendo X = 3 e Y = 5, a segunda forma de calcular dá-nos raizqdrda((32 + 52)/2) = raizqdrda(34/2) = 4.12. Repare que este valor é um pouco mais alto do que 4, a média aritmética. Este método de calcular a média é denominado por cálculo da “raiz quadrada média”.
Com mais valores, um método similar é utilizado para calcular estas médias. Por exemplo, com os valores 3, 7, 8, 2, a média aritmética é (3 + 7 + 8 + 2)/4 = 5. Da mesma forma, a raiz quadrada média é raizqdrda((32 + 72 + 82 + 22)/4) = raizqdrda((9 + 49 + 64 + 4)/4) = raizqdrda(126)/4 = 5.61. De novo, repare como a raiz quadrada média é um pouco maior do que a média aritmética. Para o desvio padrão, a média é calculada utilizando a segunda metodologia. A razão é que alguns dos teoremas mais profundos dependem de propriedades subtis que a raiz quadrada média tem que a média aritmética não tem.
CALCULAR O DESVIO PADRÃO DE ALGUNS DADOS:
1. Descubra qual a média aritmética dos dados;
2. Encontre a distância a que cada valor está da média aritmética;
3. Calcule o quadrado de cada uma destas distâncias;
4. Calcule a média aritmética destes quadrados;
5. Calcule a raiz quadrada do valor calculado no passo 4.
POR EXEMPLO, O DESVIO PADRÃO DOS VALORES 3, 7, 8 E 2 É ENCONTRADO DA SEGUINTE FORMA:
1. A média aritmética é (3 + 7 + 8 + 2)/4 = 5
2. A distância a que cada número está de 5 é: -2, 2, 3 e -3
3. O quadrado destas distâncias resulta nos valores 4, 4, 9 e 9
4. A média aritmética dos quadrados é (4 + 4 + 9 + 9)/4 = 26/4
5. A raiz quadrada do valor obtido no passo 4 é raizqdrda(26/4) = 2.55
Portanto, o desvio padrão dos valores 3, 7, 8 e 2 é 2.55. Quando esta definição é aplicada a um jogo de casino, o desvio padrão é “a distância média entre o resultado de uma ronda de um jogo de casino e o retorno médio (RTP teórico) para esse jogo”. Por outras palavras, olhamos para os diferentes retornos que esse jogo de casino tem, os diferentes resultados possíveis para um jogador e perguntamos: “em média, quão longe do retorno expectável teórico estão estes retornos”? A resposta é o “desvio padrão”. Tal como mencionado anteriormente, apresentamos este valor utilizando o símbolo σ. Para além do “desvio padrão”, o conceito de “variância” e “volatilidade” são normalmente descritos. A variância é o quadrado do desvio padrão, ou seja, variância = σ2. É o valor obtido no passo #4 no cálculo do desvio padrão. O propósito de introduzir a variância é facilitar muitos dos cálculos matemáticos que, por razões muito técnicas, tornam-se mais simples quando aplicados à variância.
Utilizaremos a palavra “variância” casualmente, com o conhecimento de que na verdade é medir a mesma coisa que o desvio padrão: calcule simplesmente a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão. Entre as muitas razões pelas quais autores, jogadores, gerentes de casinos e criadores de jogos preferem a palavra “variância”, as principais são o facto da palavra ser mais pequena, mais fácil de escrever, com uma sonoridade menos técnica e um menor número de sílabas do que “desvio padrão”. É mais intuitivo dizer que um jogo tem “alta variância” do que dizer que tem um “alto desvio padrão”. Por fim, volatilidade é também usada como sinónimo tanto para desvio padrão como para variância, dependendo do contexto. Volatilidade é, também, usada informalmente para descrever o nível de imprevisibilidade numa medição ou numa troca financeira, como o jogo de sorte e azar a dinheiro. Expressões como “alta volatilidade” são normalmente aplicadas a instrumentos financeiros com grandes altos e baixos. Da mesma forma, “baixa volatilidade” sugere um movimento gradual. Intuitivamente, quanto maior for o valor do desvio padrão (variância, volatilidade), mais os dados se espalham ou desviam da média. Um desvio padrão (variância, volatilidade) de zero significa que cada valor tem o mesmo valor da média. Exploraremos estas questões ao comparar um emprego normal com uma experiência de jogo num casino.
Suponha que tem um emprego que lhe paga €1.500 por semana. Rapidamente, adaptar-se-á e ficará dependente da estabilidade desse salário. Toma decisões sobre compras, férias, saúde e outros assuntos com base em saber exatamente quanto é que receberá em determinada data todas as semanas/meses. Num caso destes, o desvio padrão é zero porque o único valor é €1.500, aquilo que recebe todas as sextas-feiras. Portanto, neste caso, o desvio padrão é σ = €0,00. Imaginemos agora que recebemos o ordenado de forma diferente. Todos estes métodos têm o mesmo ordenado expectável: receber €1.500 por semana no longo prazo.
1. Suponha que a cada sexta-feira, você lança um dado de seis faces para determinar aquilo que recebe naquela semana. O pagamento será €0 se calhar “1”; €500 se “2"; €1.000 se “3”; €2.000 se “4”; €2.500 se “5”; €3.000 se “6”. Então o seu ordenado médio é (€0 + €500 + €1.000 + €2.000 + €2.500 + €3.000) / 6 = €1.500. Utilizando os passos 1 a 5 apresentados acima, o desvio padrão é σ = €1.080,23.
2. Agora suponha que a cada sexta-feira, atirava uma moeda ao ar. Sai Cara e recebe €3.000, sai Coroa e recebe €0. Claramente, o seu salário médio é €1.500. Por isso, no longo prazo, estará a ganhar o mesmo valor. O desvio padrão é σ = €1.500.
3. Neste cenário, a cada sexta-feira, lança um dado de seis faces para determinar aquilo que receberá naquela semana. O seu ordenado será €0 se sair 1, 2, 3, 4 ou 5. Receberá €9.000 se sair 6. O seu ordenado médio é (€0 + €0 + €0 + €0 + €0 + €9.000) / 6 = €1.500. O desvio padrão é de σ = €3.354,10.
4. Por fim, suponha que a cada sexta-feira você lança 2 dados. Se a soma for 12, recebe €54.000. Por qualquer outra soma dos dois dados, recebe €0. Pode, ou não, fazer as contas, mas em média, o seu ordenado será de €1.500 por semana. O desvio padrão é σ = €8.874,12.
Eu ficaria muito desconfortável se tivesse um emprego e não soubesse se receberia quando chegasse sexta-feira. Eu quero saber que aqueles €1.500 estarão na minha mão naquela data. Se eu quisesse jogar com menos volatilidade, então utilizar o método 1 seria a escolha certa. Se quisesse jogar com a maior volatilidade, então o método 4 seria a minha escolha. Muitos de nós não querem qualquer variância no que toca ao nosso emprego. Paralelamente, se as pessoas jogam um jogo de casino, estão dispostas a pagar ao casino uma determinada fração das suas apostas de forma a ter uma experiência de variância que se adeque ao seu nível de conforto. O produto que o cliente está a comprar é a variância e a adrenalina que a acompanha. Ninguém jogaria numa slot machine com zero variância em que cada vez que puxasse a alavanca, perdesse 5 cêntimos por cada aposta de €1. Nem iriam gostar de apostar €1 na máquina que diz “Trocos” com 0% de vantagem para a casa e 0% de variância. Ambos estes jogos de zero variância seriam muito parvos. Contudo, os jogadores costumam jogar na roleta com zero variância – jogam a mesma aposta em todos os 38 números. Neste esquema, o jogador perde apenas um pouco mais de 5 cêntimos por cada aposta de €1. Os jogadores fazem isto, por exemplo, como forma de ganhar bebidas de borla ou outras competições. Tal como jogar simultaneamente como a Banca e o Jogador no baccarat. Nestas situações, é perdido um valor específico que corresponde à vantagem da casa em quase todas as rondas.
OLHEMOS PARA O DESVIO PADRÃO DE DUAS LOTARIAS
Lotaria 1. Para 9 dados, temos um valor de €100.000 e para 999.991 dados, temos um valor de €0. O desvio padrão é σ = €300 (a variância é σ2 = €89.999,19).
Lotaria 2. Para 900.000 dados, temos um valor de €1 e para 100.000 dados temos um valor de €0. O desvio padrão é σ = €0,30 (a variância é σ2 = €0,09).
Para a maioria dos jogadores, a variância da lotaria 1 é demasiado alta e a variância da lotaria 2 é demasiado baixa. Os jogadores gostam de uma determinada variância nos jogos de casino. Por vezes, alta variância venderá, mas baixa variância quase nunca vende. Tal como os clientes não pretendem variância quando se trata do seu ordenado, querem variância quando é parte de uma experiência de entretenimento com um jogo. Para a maioria de nós, o nosso nível de conforto para o nosso ordenado semanal é uma variância de €0. Mas quando um jogador se senta para jogar um jogo de casino, variância é a palavra de ordem. Variância cria entusiasmo. A variância impulsiona a adrenalina. A variância é, no fundo, o produto que está a ser vendido.
Eliot Jacobson recebeu o seu doutoramento em matemática da Universidade do Arizona em 1983. Eliot foi professor de matemática e informática. Eliot deixou de dar aulas em 2009.
